Математика за НВО 💪
Всички формули, методи и типове задачи, които ще срещнеш на изпита. Теория + примери + упражнения.
📋 Формули — бърза справка
Формули за съкратено умножение
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a−b)² = a² − 2ab + b²
(a+b)(a−b) = a² − b²
Геометрия
S△ = a·h / 2
Лице на триъгълник
a² + b² = c²
Питагорова теорема
Sтрапец = (a+c)·h / 2
Лице на трапец
Sкръг = π·r²
Лице на кръг
C = 2·π·r
Обиколка на окръжност
Sромб = d₁·d₂ / 2
Лице на ромб
Текстови задачи
S = v · t
Движение
A = P · t
Работа
L = K · p · t / 100
Лихва
🔢
Числа
Степени, корени, модул
📐
Алгебра
Формули, разлагане, дроби
⚖️
Уравнения
Линейни, системи, неравенства
📈
Функции
Линейна функция, пропорционалност
📏
Геометрия
Триъгълник, четириъгълници, кръг
📝
Задачи
Движение, работа, лихви, проценти
🧪
Мини-тест
12 въпроса от всички теми
⚠️ Най-честите грешки на НВО
(a−b)² ≠ a² − b²
Правилно: (a−b)² = a² − 2ab + b²
Членът 2ab постоянно се пропуска!
Правилно: (a−b)² = a² − 2ab + b²
Членът 2ab постоянно се пропуска!
При неравенство: обърни знака!
−2x < 4 → x > −2
При умножение/деление с отрицателно число знакът се обръща.
−2x < 4 → x > −2
При умножение/деление с отрицателно число знакът се обръща.
Хипотенуза vs. катет
c² = a² + b² → хипотенузата c е срещу правия ъгъл.
Не слагай a или b за c!
c² = a² + b² → хипотенузата c е срещу правия ъгъл.
Не слагай a или b за c!
Лице vs. Периметър
Периметър = сума на страните (линейна мярка)
Лице = покрита повърхност (квадратна мярка)
Периметър = сума на страните (линейна мярка)
Лице = покрита повърхност (квадратна мярка)
🔢 Рационални числа, степени и корени
Рационално число = число от вида p/q, където p и q са цели числа, q ≠ 0. Включват: цели числа, дроби, крайни и периодични десетични дроби.
Наредба на рационалните числа
По числова ос: по-вдясно = по-голямо
−1/4 > −1/3 (защото −0.25 > −0.333...)
Внимание: при отрицателни числа по-малкият модул → по-голямо число
−1/4 > −1/3 (защото −0.25 > −0.333...)
Внимание: при отрицателни числа по-малкият модул → по-голямо число
Модул (абсолютна стойност)
|a| = a, ако a ≥ 0
|5| = 5
|a| = −a, ако a < 0
|−5| = 5
⚡ Степени
an = a · a · a · ... · a (n пъти) при a ≠ 0
am · an = am+n
Умножение на степени
am / an = am−n
Деление на степени
(am)n = am·n
Степен на степен
a0 = 1
Нулева степен (a ≠ 0)
a−n = 1 / an
Отрицателен показател
(−a)четно > 0
(−3)² = 9 (положително!)
Внимание: (−3)² = 9, но −3² = −9 (само 3 е на квадрат, после се прибавя минус)
√ Квадратен корен
√a · √b = √(a·b)
√4 · √9 = √36 = 6
√a / √b = √(a/b)
√12 / √3 = √4 = 2
(√a)² = a
(√7)² = 7
√(a²) = |a|
√9 = 3 (не −3!)
Квадратен корен е дефиниран само за a ≥ 0. Резултатът е винаги ≥ 0.
Примери:
√144 = 12 · √12 · √3 = √36 = 6 · √75/√3 = √25 = 5
√(16/25) = 4/5 · 2⁻³ = 1/2³ = 1/8
√(16/25) = 4/5 · 2⁻³ = 1/2³ = 1/8
🎯 Упражнение: Числа и степени
📐 Формули за съкратено умножение
Тези формули са задължителни за НВО! Използват се за развиване на изрази И за разлагане на множители.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Пълен квадрат на сума
(a − b)² = a² − 2ab + b²
Пълен квадрат на разлика
(a + b)(a − b) = a² − b²
Разлика на квадрати
Примери:
(x + 3)² = x² + 6x + 9 (a=x, b=3 → 2ab = 2·x·3 = 6x)
(2x − 1)² = 4x² − 4x + 1 (a=2x, b=1)
(5 + y)(5 − y) = 25 − y²
(2x − 1)² = 4x² − 4x + 1 (a=2x, b=1)
(5 + y)(5 − y) = 25 − y²
Най-честата грешка: (a − b)² = a² − b² — ГРЕШНО!
Средният член −2ab се пропуска. Резултатът е a² −2ab + b².
Средният член −2ab се пропуска. Резултатът е a² −2ab + b².
🔍 Разлагане на множители
Разлагане = обратното на развиване. Намираме как да запишем многочлена като произведение.
| Метод | Изходен израз | Разложен |
|---|---|---|
| Общ множител | 6x² + 4x | 2x(3x + 2) |
| Разлика на квадрати | x² − 9 | (x−3)(x+3) |
| Пълен квадрат | x² + 6x + 9 | (x+3)² |
| Пълен квадрат | 4x² − 4x + 1 | (2x−1)² |
| Групиране | ax + ay + bx + by | (a+b)(x+y) |
Стъпки за разлагане:
- Търси общ множител — изнеси го пред скоба
- Разпознай формула за съкратено умножение
- Провери: разнесени = оригинален израз?
➗ Алгебрични дроби
Опростяване
(x² − 4) / (x + 2) = (x−2)(x+2) / (x+2) = x − 2
(при x ≠ −2)
(при x ≠ −2)
Задължително разложи числителя и знаменателя на множители, преди да съкращаваш!
Действия
Умножение: a/b · c/d = ac/bd
Деление: a/b ÷ c/d = a/b · d/c = ad/bc
Събиране: a/b + c/b = (a+c)/b
(при различни знаменатели — намери НОК!)
Деление: a/b ÷ c/d = a/b · d/c = ad/bc
Събиране: a/b + c/b = (a+c)/b
(при различни знаменатели — намери НОК!)
🎯 Упражнение: Алгебра
⚖️ Линейно уравнение с една неизвестна
ax + b = 0 → x = −b/a (при a ≠ 0)
Метод за решаване:
- Изнеси всички членове с x вляво, свободните — вдясно
- Събери подобни членове
- Раздели двете страни на коефициента пред x
- Провери: замести x и виж дали уравнението е изпълнено
3x − 5 = x + 7
3x − x = 7 + 5 (пренасяме)
2x = 12
x = 6
Проверка: 3·6−5 = 13 = 6+7 ✓
🔗 Системи от две уравнения
Метод на заместването
x + y = 8
x − y = 2
x − y = 2
От 1-во: x = 8 − y
Замества в 2-ро: (8−y)−y=2 → 8−2y=2 → y=3
x = 8 − 3 = 5
Метод на събирането (елиминация)
2x + y = 5
x − y = 1
x − y = 1
Събираме двете уравнения: 3x = 6
x = 2
От 1-во: 4+y=5 → y=1
📉 Линейни неравенства
Ключово правило: При умножение или деление с отрицателно число знакът на неравенството се ОБРЪЩА!
2x + 3 > 7
2x > 4 → x > 2 ✓
2x > 4 → x > 2 ✓
−3x < 9
Делим с −3, обръщаме знака:
x > −3 ✓
Делим с −3, обръщаме знака:
x > −3 ✓
Решението на неравенство е интервал, не единична стойност. Записва се x > 2 или x ∈ (2, +∞).
🔲 Квадратно уравнение
ax² + bx + c = 0 → D = b² − 4ac
| Стойност на D | Корени | Пример |
|---|---|---|
| D > 0 | x1,2 = (−b ± √D) / 2a (два различни корена) | x²−5x+6=0 → D=1 → x=2, x=3 |
| D = 0 | x = −b / 2a (двоен корен) | x²−4x+4=0 → x=2 |
| D < 0 | Няма реални корени | x²+1=0 → D=−4 |
x² − 5x + 6 = 0 (a=1, b=−5, c=6)
D = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1 > 0
x1 = (5 + 1) / 2 = 3 x2 = (5 − 1) / 2 = 2
D = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1 > 0
x1 = (5 + 1) / 2 = 3 x2 = (5 − 1) / 2 = 2
🎯 Упражнение: Уравнения и неравенства
📈 Линейна функция
y = kx + b
k = коефициент на наклон · b = свободен член
Свойства
| k > 0 | Нарастваща функция (↗) |
|---|---|
| k < 0 | Намаляваща функция (↘) |
| k = 0 | Константна функция (→) |
Пресечна точка с Oy: x=0 → y = b
Пресечна точка с Ox: y=0 → x = −b/k
Пресечна точка с Ox: y=0 → x = −b/k
Примери
y = 2x − 4
k = 2 (нарастваща)
Пресича Oy: y = −4 → точка (0, −4)
Пресича Ox: 0=2x−4 → x=2 → точка (2, 0)
k = 2 (нарастваща)
Пресича Oy: y = −4 → точка (0, −4)
Пресича Ox: 0=2x−4 → x=2 → точка (2, 0)
y = −x + 3
k = −1 (намаляваща)
Пресича Oy: y = 3 → точка (0, 3)
k = −1 (намаляваща)
Пресича Oy: y = 3 → точка (0, 3)
⇄ Видове пропорционалност
Правопропорционална
y = kx (b = 0)
Графиката е права, минаваща през началото (0,0)
Пример: цена = количество × единична цена
Пример: цена = количество × единична цена
Обратнопропорционална
y = k / x (k ≠ 0)
Графиката е хипербола
Пример: скорост × време = константно разстояние
Пример: скорост × време = константно разстояние
🎯 Упражнение: Функции
📏 Триъгълник
Основни формули
P = a + b + c
Периметър
S = a · ha / 2
Лице (основа × височина / 2)
a² + b² = c²
Питагорова теорема (само за правоъгълен △)
Сума на ъглите: α + β + γ = 180°
Видове триъгълници
| По страни | По ъгли |
|---|---|
| Равностранен (a=b=c) | Остроъгълен (3 остри ъгъла) |
| Равнобедрен (a=b) | Правоъгълен (1 прав ъгъл) |
| Разностранен | Тъпоъгълен (1 тъп ъгъл) |
Правоъгълен △
a²+b²=c²
Пример — Питагорова теорема:
Катети a=3, b=4. Намери хипотенузата c.
c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 → c = √25 = 5
Катети a=3, b=4. Намери хипотенузата c.
c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 → c = √25 = 5
Пример — Лице: Триъгълник с основа 8 cm и височина 5 cm
S = 8 · 5 / 2 = 20 cm²
S = 8 · 5 / 2 = 20 cm²
▭ Четириъгълници
Сума на ъглите в четириъгълник = 360°
| Фигура | Лице S | Периметър P | Особеност |
|---|---|---|---|
| Правоъгълник | a · b | 2(a+b) | 4 прави ъгъла |
| Квадрат | a² | 4a | 4 равни страни + 4 прави ъгъла |
| Успоредник | a · h | 2(a+b) | h = разстоянието между основите |
| Ромб | d₁ · d₂ / 2 | 4a | d₁, d₂ = диагоналите |
| Трапец | (a+c) · h / 2 | a+b+c+d | a, c = паралелните страни |
Успоредник: a=7, h=4
S = 7 · 4 = 28
S = 7 · 4 = 28
Трапец: a=6, c=4, h=5
S = (6+4) · 5 / 2 = 25
S = (6+4) · 5 / 2 = 25
Ромб: d₁=6, d₂=8
S = 6 · 8 / 2 = 24
S = 6 · 8 / 2 = 24
Квадрат: a=5
S = 25, P = 20
S = 25, P = 20
⭕ Окръжност и кръг
C = 2·π·r = π·d
Дължина на окръжността
S = π·r²
Лице на кръг
π ≈ 3.14159... · d = 2r (диаметър)
C = 2πr S = πr²
r = 5: C = 10π ≈ 31.4
S = 25π ≈ 78.5
S = 25π ≈ 78.5
🎯 Упражнение: Геометрия
🚗 Задачи за движение
S = v · t
Разстояние = скорост × време
Типови ситуации
| Ситуация | Уравнение |
|---|---|
| Движат се насреща | v₁·t + v₂·t = S |
| Движат се в 1 посока | |v₁·t − v₂·t| = S или v₁·t − v₂·t = 0 (срещат се) |
| Тръгват в различно време | Изравни разстоянията |
Решен пример
Два велосипедиста тръгват насреща. Разстоянието е 120 km, скоростите им 30 и 10 km/h. Кога ще се срещнат?
Нека t = часовете до срещата
30t + 10t = 120 → 40t = 120
t = 3 часа ✓
🔧 Задачи за работа
A = P · t → 1/T = 1/T₁ + 1/T₂
Работа = производителност × време · Заедно
Работник А свършва работата за 6 ч, работник Б — за 12 ч. За колко часа ще я свършат заедно?
За 1 час: А прави 1/6, Б прави 1/12
Заедно за 1 час: 1/6 + 1/12 = 2/12 + 1/12 = 3/12 = 1/4
T = 4 часа ✓
💰 Проценти и лихви
x% от A = A · x / 100
Намиране на процент
L = K · p · t / 100
Лихва (K=капитал, p=%, t=години)
20% от 150 = ?
150 · 20 / 100 = 30
150 · 20 / 100 = 30
Число е увеличено с 15% и станало 115. Намери числото.
x · 1.15 = 115 → x = 115/1.15 = 100
x · 1.15 = 115 → x = 115/1.15 = 100
Лихва: К=2000 лв, p=5%, t=1 год.
L = 2000 · 5 · 1 / 100 = 100 лв
L = 2000 · 5 · 1 / 100 = 100 лв
Намаление с 20%: нова цена = стара · 0.80
Увеличение с 30%: нова цена = стара · 1.30
Увеличение с 30%: нова цена = стара · 1.30
📊 Средно аритметично и вероятност
x̄ = (x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n
Средно аритметично
Оценки: 5, 4, 6, 5, 4
x̄ = (5+4+6+5+4)/5 = 24/5 = 4.8
x̄ = (5+4+6+5+4)/5 = 24/5 = 4.8
P(A) = брой благоприятни / брой всички
Класическа вероятност
Зар 1–6. P(четно) = 3/6 = 1/2
P(по-голямо от 4) = 2/6 = 1/3
P(по-голямо от 4) = 2/6 = 1/3
🎯 Упражнение: Текстови задачи
🧪 Мини-тест — Математика НВО
12 въпроса от всички теми. Избери отговор за всеки въпрос и виж резултата накрая.